简单记录第一次看 The Volatility Surface 时推导有问题的部分。
(P16) 给定下列等式:
∂t∂V+21vS2∂S2∂2V+ρηvS∂S∂v∂2V+21η2v∂v2∂2V+rS∂S∂V−rV−λ(v−vˉ)∂v∂V=0
进行如下的变量代换:
x=ln(Ft,T/K)=ln(Serτ/K),
可得到如下的等式:
−∂τ∂C+21v∂x2∂2C−21v∂x∂C+21η2v∂v2∂2C+ρηv∂x∂v∂2C−λ(v−vˉ)∂v∂V=0
一开始看书时没明白 rS∂S∂V−rV 这项是怎么被消去的。看了这个回答之后才发现我没把当期价格V表示成终期价格C:e−rτC(x,ν,τ)=V(S,ν,t),所以一开始推不出书上的式子。